Recenzovaná práce je reprezentantem řady metodologických a statistických publikací určených nakladatelstvím Sage sociálním vědám a drží se základních charakteristik, kterými je cel_1 série určena. Oba autoři patří k autoritám na tomto poli (Aldrich je profesorem politické vědy na Minnesotské univerzitě, kde se kromě statických aplikací v politické sociologii věnuje právě formálnímu modelování, Nelson je profesorem ekonomie na univerzitě v Iowě- v rámci ekonometrie se věnuje modelování s kvalitativními daty a daty při omezených závislých proměnných, oba publikovali v posledních desetiletích nepřebernou řadu článků, kde se tématem zabývají jak teoreticky, tak pravděpodobností modely aplikují při analýzách; známá je předvším Aldrichova kniha Change and Continuity in the 1980 elections, kde modely volebního rozhodování byly ze značné části položeny právě na popisovaných metodách). Dále je publikace zařazena v celé sérii na logicky jí příslušející místo (tj. až po úvodu do regrese a jejímu mnohorozměrnému rozvinutí) a autoři si tak mohou dovolit postavit svůj výklad na tom, co by teoreticky už kždý mohl a měl znát, protože, jak sami říkají, pravděpodobnostní varianty modelování patří spíše do kapitoly pokročilé statistiky. Další vlastností knihy je standardní pedagogický postup: formální matematické vymezení, jeho překlad do "plain english" a následují příklady korektních i nekorektních aplikací, které jsou zpravidla kontrastovány na jednom skutečném příkladu tak, aby rozdíly skutečně vynikly.

1) Lineární pravděpodobnostní modely: přehled lineární regrese, lineární regrese s dichotomickou závislou proměnnou, model lineární pravděpodobnosti s dichotomickou závislou proměnnou, příklad replikovaných dat, polytomní závislá proměnná, předpoklad linearity u závisle proměnné, efekt nekorektní aplikace předpokladu linearity u u závisle proměnné.

3) odhady logitových a probitových modelů pro dichotomickou závislou proměnnou: metoda maximální věrohodnosti (MLE)

"Regresní analýza se stala standardním statistickým nástrojem v sociálních vědách" (str. 9), takto celý výklad začíná. Právě pro svou popularitu, explanační sílu (v mnohorozměrné aplikaci), robustnost a dostupnost (je součástí snad všech statistických výpočetních balíků) se ale zároveň stala zřejmě i metodou nejčastěji nekorektně aplikovanou. Zatímco nízké nároky na nezávisle proměnné jí dodávají onu zmíněnou robustnost, z hlediska nároků kladených na závisle proměnnou se jedná o metodu snadno zranitelnou a vystavenou možnosti nekorektního použití. V případě, že některé nutné předpoklady nejsou dodrženy, je interpretace výsledků a koeficientů regresí získaných velmi zavádějící.

Příkladem, kdy klasická lineární regrese selhává jsou její použití v behaviorálních vědách, kde se závisle proměnno často má stát kvalitativní (nominální) znak: v politické vědě např. volební preference, v ekonomii individuální volby a preference, s sgii řada rozhodnutí osobního charakteru (svatba, rozvod, rozhodnutí mít či nemít děti, postoje a životní preference). A právě na kontrastu těchto příkladů a lineární regresí a hledání možných alternativ jejich interpretací a předpokladů je text položen.

(1)

kde Y_i a X_i jsou pozorovanými proměnnými a b_k jsou parametry, které odhadujeme. Z (1) potom můžeme chybu měření vyjádřit jako:

(2)

(3)

3. průměrná hodnota e_i= 0: z toho plyne, že při daných X_i je očekávaná hodnota Y_i = 0

Platí, že v regresi nejsou žádné speciální požadavky na exogenní proměnné (pouze se nesmí jednat o jejich vzájemn_9 lineární kombinace). Pokud ale chybí restrikce na b_k, X_i, e_i, musí mít Y_i možnost pohybovat se v intervalu od záporného po kladné nekonečno. Vevýběrových souborech, které používáme v sociálních vědách tomu tak samozřejmě není, a zpravidla jsou hodnoty závislé proměnné distribuovány v mnohem užším intervalu. Pokud ale omezíme závislou proměnnou pouze na dvě hodnoty, říkají Aldrich s Nelsonem, jedná se o tak evidentní porušení tohoto předpokladu, že si takový příklad zasluhuje zvláštní pozornost (str. 12).

Předpokládejme že Y_i nebývá hodnot 0,1. Potom očekávaná hodnota

Potom i chyba může, při daném X_i nabývat jen dvou hodnot,

jestliže je Y_i=1 potom u_i= 1 -S b_k+X_ik

jestliže Y_i= 0 potom u_i= -S b_k+X_ik.

Další z předpokladů, totiž že u_i má konstantní varianci ale nemůže být dodržen, "ve skutečnosti chyba variuje s hodnotou Y_i" (str. 13). Z toho auto

f8i dovozují, že OLS odhady budou sice nevychýlené, ale ne nejlepší, čili nebudou mít nejmenší výběrový rozptyl. Další kapitolu proto věnují metoda, jak získat tyto nejlepší odhady v podobě vážených nejmenších čtverců (WLS, kde váhy jsou počítány z klasické regrese OLS pro každé pozorování potom mají podobu: w=1/(P*(1-P)) a platí tedy, že váhy jsou většŕ, pokud se P blíží extrémním hodnotám 0,1). Tuto kapitolu, stejně jako další, které se věnují speciálním příkladů s replikovanými daty a případu pravděpodobnostního modelu se závislou proměnnou, která nabývá více hodnot (polytomní proměnná) se v našem výkladu nebudeme podrobněji věnovat.

Podstatné ovšem je, že v tomto místě autoři poprvé naráží na podstatnou odchylku od modelu "klasické" mnohorozměrné lineární regrese: "metoda OLS vede k maximalizaci R² a my na základě teoretických předpokladů víme (v WLS metodě- pozn. MK), že je lepší preferovat model s nižším R²." (str. 15) Proto a kvůli inherentní heteroscedastitě Y i, autoři uzavírají, je v modelech s kvalitativní závislou proměnnou lepší se koeficientu determinace raději vyhýbat (v praxi je při dvouhodnotové závislé proměnné rpakticky nemožné dos_1hnout perfektního fitu, který by odpovídal hodnotě R² =1).

1. Klade inherentní omezení na efekt exogenních proměnných ve vztahu k endogenní (ještě předtím, že se pustíme do odhadů jsou efekty omezeny intervalově: str. 25).

Tato subkapitola je pro pochopení našeho výběru logistické regrese jako jedno z příkladů modelů s dichotomickou závislou proměnnou klíčová.

Dostáváme se tedy k druhé části knihy, která se zabývá tím, jak efektivně zacházet s případy, kdy není dodržen předpoklad linearity závislé proměnné, a jak s nimi pracovat.

Horní i dolní limit kladený původně na P_i lze odstranit aplikací následující transformace.

Namísto P_i uvažujme log (P_i/(1-P_i)), které, jak můžeme předpokládat rovné S b_kX_ik.

což je výraz, který nazýváme "logistickou funkcí". jedná se o kontinuální proměnnou, která nabývá pouze hodnot v intervalu (0,1). Pokud je Z_i blízké záporn

e9mu nekonečnu, potom se blíží nule, jestliže je Z_i blízké kladnému nekonečnu, potom logistická funkce jde k 1; je zároveň symetrická okolo bodu Z_i=0 (str. 32).

Na rozdíl o lineární specifikace, splňuje tato fce požadavek 0,1 omezení P_i, aniž by přitom omezovala hodnoty Z_i.

1. Omezený model lineární pravděpodobnosti (jedná se vlastně o upravený model lineární pravděpodobnosti omezený tak, že pokud je P_i<0 je položeno P_i=0, a pokud je P_i